Vés enrere

Un nou pont entre la geometria de fractals i la dinàmica de la sincronització parcial

Un nou pont entre la geometria de fractals i la dinàmica de la sincronització parcial

Es mostra en un article que publica la revista Chaos el 3 de maig, del qual és autor Ralph G. Andrzejak, cap del Nonlinear Time Series Analysis Group.

06.05.2021

Imatge inicial

En matemàtiques, les equacions simples poden generar una evolució complexa en el temps i patrons intrigants a l’espai. Un exemple famós és el conjunt de Mandelbrot, que rep el nom del matemàtic francès-americà d'origen polonès Benoit B. Mandelbrot (1924-2010) i que és el fractal més estudiat. Aquest conjunt es basa en una única equació de segon grau amb només un paràmetre i una variable. Els fascinants patrons fractals del conjunt de Mandelbrot han atret l'atenció, molt més enllà de les matemàtiques.

Un article de Ralph Andrzejak "Chimeras confined by fractal boundaries in the complex plane’, forma part d'una edició especial de la revista Chaos en memòria del professor rus Vadim S. Anishchenko, (1943-2020), que s'ha publicat el 3 de maig del 2021. Andrzejak és cap del Nonlinear Time Series Analysis Group al Departament de Tecnologies de la Informació i les Comunicacions (DTIC) de la UPF. El treball generalitza el conjunt de Mandelbrot per a quatre equacions de segon grau. La figura que es mostra més amunt és un exemple dels patrons generats per aquest enfocament.

Un viatge per molts ordres de magnituds

Andrzejak assenyala que "la complexitat dels patrons fractals s'aprecia quan gradualment ens apropem als detalls cada vegada més petits", la qual cosa l'autor ho il·lustra en la imatge que es mostra a continuació. L'autor explica la imatge dient que “a escala global, el patró que es mostra al panell superior esquerre de la figura s’assembla al conjunt clàssic de Mandelbrot. Tanmateix, tan bon punt inspeccionem els detalls, podem veure patrons que no es poden trobar en el conjunt de Mandelbrot. Per veure millor aquests detalls, augmentem el quadrat per produir el següent panell".

 

L'autor fa servir una comparació per subratllar que aquests patrons es troben efectivament en molts ordres de magnitud. Afirma que "el zoom aplicat als dotze panells que configuren la imatge correspon a augmentar un àtom a la mida d'un cotxe SUV". “A mesura que anem aplicant el zoom augmentant la mida de la imatge veiem que apareix una rica varietat de formes estèticament intrigants. Els patrons que hem descobert poden semblar que tenen menys filigranes i que estan més desordenats, però poden arribar a ser més variats que els que es troben en el conjunt de Mandelbrot".

La interacció dels fractals i la sincronització

Però hi ha més que patrons fractals per apropar-se a la proposta d'Andrzejak. Com que l'autor utilitza quatre equacions en lloc d’una, ha pogut estudiar també la sincronització dins d’aquests patrons fractals. Com ho podem entendre? Andrzejak ho explica dient “el conjunt de Mandelbrot es basa en una equació amb un paràmetre i una variable. Aquesta variable la podem imaginar com una petita bola en moviment sobre la superfície d’una gran taula rodona. El que passi amb aquesta bola depèn del paràmetre de l'equació. Per a alguns valors d’aquest paràmetre, la pilota es mou i es queda sobre la taula sempre. El conjunt de tots aquests valors de paràmetres per als quals la pilota es queda sobre la taula és el que defineix el conjunt de Mandelbrot. Al contrari, per als valors de paràmetres restants, la pilota cau de la taula en algun moment en el temps".

"Si estudiem els mecanismes bàsics de sincronització parcial en models molt senzills, això pot contribuir a entendre com s'estableix i es pot mantenir estable en sistemes tan complicats com el cervell humà"

Andrzejak continua dient que "es pot pensar que les quatre equacions que estem utilitzant descriuen el moviment no només d'una, sinó de quatre boles a la superfície de la taula. Com que les equacions estan connectades, les boles no es poden moure lliurement. En canvi, s’atrauen mútuament, igual que el sol, la terra i la lluna s’atrauen mútuament a través de la gravetat”. L’investigador afegeix que “com a conseqüència d’aquesta atracció, les quatre boles poden mostrar diverses formes de sincronització. Els dos extrems són els següents: Les quatre boles es mouen juntes pels mateixos camins o cada bola segueix el seu propi camí”. Andrzejak subratlla llavors que “el més important, més enllà d’aquests extrems, és trobar l’anomenada sincronització parcial. Per exemple, dues boles es poden moure sincronitzades juntes, mentre que les altres dues boles romanen no sincronitzades a partir d'aquest moviment. Aquest estat particular de sincronització parcial s’anomena estat de quimera”, d'aquí el títol de l’article.

Una qüestió d'alta rellevància per a les dinàmiques del món real

Si ens preguntem si el model matemàtic esmentat pot ser rellevant per a la dinàmica del món real, Andrzejak respon “Sí. Totalment. El millor exemple és el cervell. Si totes les nostres neurones es sincronitzessin o es desincronitzessin, el nostre cervell ja no podria fer la seva funció. El nostre cervell només pot funcionar correctament si algunes neurones se sincronitzen mentre que altres neurones romanen desincronitzades. La sincronització parcial és essencial per al correcte funcionament del cervell". L'autor ho relaciona amb el seu treball dient: "demostrem com es pot establir la sincronització parcial en un model molt senzill i, a més, mostrem, com aquesta sincronització parcial es confina dins dels límits fractals mitjançant una sincronització i una desincronització completes". L'autor conclou: "Si estudiem els mecanismes bàsics de sincronització parcial en models molt senzills, això podria contribuir a entendre com s'estableix i es pot mantenir estable en sistemes tan complicats com el cervell humà".

Treball de referència:

Ralph G. Andrzejak (2021), " Chimeras confined by fractal boundaries in the complex plane", Chaos, 31, 3 de maig, https://doi.org/10.1063/5.0049631

Per obtenir un pdf de l'article, poden contactar amb l'investigador principal a: [email protected]

Multimèdia

Multimedia

Multimedia

Categories:

ODS - Objectius de desenvolupament sostenible:

ODS - Objetivos de desarrollo sostenible:

SDG - Sustainable Development Goals:

Els ODS a la UPF Los ODS en la UPF The ODS at UPF

Per a més informació

Para más información

For more information

Notícia publicada per:

Noticia publicada por:

News published by:

Unitat de Comunicació i Projecció Institucionals

Unidad de Comunicación y Proyección Institucionales

Institutional Communication and Promotion Unit