Curs 2015-16

Equacions Diferencials

Titulació: Codi: Tipus:
Grau en Enginyeria Informàtica 22634 Optativa
Grau en Enginyeria Telemàtica 22581 Optativa
Grau en Enginyeria en Sistemes Audiovisuals 21602 Obligatòria 1r curs

 

Crèdits ECTS: 4 Dedicació: 100 hores Trimestre: 3r

 

Departament: Dept. de Tecnologies de la Informació i les Comunicacions
Coordinador: Josep Blat
Professorat:

Juan-Francisco Garamendi, Jordi Taixés, Teresa Sancho, Josep Blat (Coordinador)

Idioma:

Català (Josep Blat, Jordi Taixés, Teresa Sancho), Castellano (Juan-Francisco Garamendi)

Horari:
Campus: Campus de la Comunicació - Poblenou

 

Presentació de l'assignatura

 

Les equacions diferencials ordinàries (EDOs) i les equacions en derivades parcials (EDPs) serveixen per a modelitzar fenòmens físics. En particular, són especialment importants per a fer simulacions, i molt utilitzades per a crear efectes visuals a videojocs o a pel·lícules. Alguns exemples en són la simulació de les ones de l’aigua, o de fum i flames. En aquest context, són especialment interessants les simulacions visuals interactives, ja que les simulacions com a productes audiovisuals necessiten la “direcció” o “orquestració” dels creatius. La simulació visual interactiva és la orientació o èmfasi particular que prendrem en aquest curs d’Equacions Diferencials, siguin ordinàries o parcials.

El curs combina elements de modelització de fenòmens mitjançant les Equacions Diferencials, les propietats i solució analítica i numèrica de les mateixes, l’error en les solucions numèriques i la simulació visual de les solucions.

Com a medul·la metodològica del curs s’analitzaran en detall aquests aspectes per a alguns fenòmens i equacions especialment interessants des del punt de vista de la formació i de la simulació visual: un ressort, les ones superficials de l’aigua, i, si s’escau, l’advecció.

 

 

Prerequisits

És altament recomanable haver assolit les competències en matemàtiques i programació dels dos primers trimestres corresponents a Àlgebra i Matemàtica Discreta, Càlcul i Mètodes Numèrics, i primer trimestre de Fonaments de Programació.

 

 

Competències

Competències generalsCompetències específicas

Instrumentales

1.Capacitat de comprendre i analitzar enunciats matemàtics.

2. Capacitat d'identificar la metodologia adient per analitzar un problema i trobar-ne la  solució.

3. Capacitat d'expressar idees i conceptes matemàtics de forma oral i escrita de manera precisa.

4. Capacitat d'abstracció.

Interpersonals

5. Capacitat de treballar en equip tant per resoldre problemes com per aprofundir en els continguts teòrics.

6. Capacitat de comunicar idees de forma precisa, tant de forma oral com escrita.

Sistèmiques

7. Capacitat de treballar de forma autònoma per resoldre un problema.

8. Capacitat de cercar les solucions més adequades segons les característiques de cada context.

9. Capacitat d'inferir nocions matemàtiques.

10.Acostumar-se a la comprovació i interpretació de les solucions, no oblidant-se dels casos particulars

1.Capacitat d'identificar i justificar l'aplicació del model matemàtic adequat per analitzar un problema i trobar la seva solució.

2. Capacitat d'entendre i saber reproduir demostracions.

4. Capacitat de resoldre les equacions diferencials presentades durant el curs.

5. Capacitat de modelar un problema en el qual apareixen una magnitud i la seva rapidesa de variació a través d'una equació diferencial.

6.Capacitat d'utilitzar els mètodes d'aproximació  per resoldre equacions diferencials que no es poden resoldre de forma analítica.

7. Saber reconèixer l'estructura de les equacions diferencials en derivades parcials fonamentals i el seu significat.

 

Avaluació

L’avaluació es farà de forma continuada, sobre la solució d’exercicis a les sessions de seminaris-problemes i pràctiques-programació.

Els dos aspectes han de ser aprovats per a aprovar l’assignatura en conjunt. El pes de cadascú és el 50%.

L’avaluació respecte als problemes és no recuperable, l’avaluació respecte a programació sí ho és.

En cas que el professorat ho consideri convenient es completarà l’avaluació mitjançant entrevistes orals.

 

Continguts

L’assignatura combina teoria, exercicis de resolució d’equacions i modelització, i programació / simulació. Els continguts es presenten seguint aquesta interdependència.

1 Conceptes bàsics d’Equacions Diferencials Ordinàries i exemples de sistemes físics i models mitjançant Equacions Diferencials. Solucions analítiques elementals per separació de variables.

 

Exercicis de solucions elementals d’EDOs i models.

Estats, Simulació i Visualització bàsica en Processing

 

2 Conceptes de solució numèrica d’equacions diferencials a valors inicials, diferències finites, el mètode d’Euler i errors.

 

Exercicis de solucions d’EDOs i models.

 

3. Exemple detallat de model físic, solució analítica i solució numèrica d’un ressort elàstic: L’espai de solucions d’una equació lineal de segon ordre, estabilitat del mètode d’Euler, mètodes implícits senzills.

 

Programació del pas de temps: Euler, Euler-Cromer, Punt intermedi. Comparació amb la solució exacta, estabilitat.

 

4. Mètodes numèrics d’ordre superior utilitzant interpolació d’aproximacions: Runge-Kutta d’ordre 2 i 4. Introducció a altres mètodes (predictor-corrector)

 

Exercicis relacionats amb variants d’un ressort elàstic.

Programació de RK2 i RK4. Variants.

 

5. Equació d’ones 1D. Solucions analítiques d’equacions en derivades parcials per mètodes elementals: solució d’ones i funcions pròpies. Problemes de frontera i la seva aproximació numèrica per diferències finites, mètodes implícits i explícits.

 

Exercicis de solucions analítiques i numèriques d’EDPs

Exercicis elementals de solució numèrica de sistemes d’equacions lineals per mètodes iteratius

Solució per mètodes explícits i implícits de l’equació d’ones 1D, i simulació visual. Problemes d’estabilitat. Solució numèrica de sistemes d’equacions lineals per mètodes iteratius.

 

6. Projecte: simulació interactiva de l’equació d’ones en 2D i d’advecció..

 

 

Metodologia

El curs combina aspectes teòrics de solució i modelització, exercicis de revisió de conceptes teòrics, i programació de la visualització de solucions numèriques sobre problemes especialment rellevants, articulant aquests temes en les sessions de teoria, seminaris i pràctiques. Es proposaran exercicis de repàs i de consolidació i els alumnes hauran de resoldre alguns (previsiblement en grups de 2) en sessions de seminari. Les hores de pràctiques estaran orientades a la simulació visual de solucions numèriques, seguint els projectes medul·lars, on poden demanar-se algunes variants com a exercici.

Programació d'activitats

 

 

Dilluns
08.30-10.30

Dijous
10.30-12.30

Divendres
10.30-12.30

1

11-15 abr

11/04

T

 

 

 

14/04

T

 

 

 

15/04

S103/S104

 

 

 

2

18-22 abr

18/04

S101/S102

 

 

 

21/04

P101

 

 

 

22/04

P102

 

 

 

3

25-29 abr

25/04

T

 

 

 

28/04

T

 

 

 

29/04

S101/S102

 

 

 

4

02-06 mai

02/05

S103/S104

 

 

 

05/05

P102

 

 

 

06/05

P101

 

 

 

5

09-13 mai

09/05

T

 

 

 

12/05

T

 

 

 

13/05

 

 

 

 

6

16-20 mai

16/05

 

FESTIU

 

 

19/05

S103/S104

 

 

 

20/05

S101/S102

 

 

 

7

23-27 mai

23/05

P101

 

 

 

26/05

P102

 

 

 

27/05

 

 

 

 

8

30maig-3 jun

30/05

T

 

 

 

02/06

T

 

 

 

03/06

S101/S102

 

 

 

9

06-10 jun

06/06

S103/S104

 

 

 

09/06

P102

 

 

 

10/06

P101

 

 

 

10

13-17 jun

13/06

T

 

 

 

16/06

S103/S104

 

 

 

17/06

S101/S102

 

 

 

 

Recursos

Apunts i exercicis.

Bibliografia més bàsica:

Zill, Dennis G.: Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado (9ª ed), International Thomson, México, D.F., 2009. QA372 .Z5518

Golub, Gene H. i Ortega, James M. : Scientific computing and differential equations : an introduction to numerical methods, Academic Press, San Diego, 1992. QA371 .G65 1992

Shiffman, Daniel : Learning Processing : a beginner's guide to programming images, animation, and interaction, Morgan Kaufmann/Elsevier, Amsterdam & Boston, 2008

El curs està inspirat pel blog de simulació visual amb equacions diferencials de Christopher Horvath (https://www.blogger.com/profile/04341930852316328263):

http://encinographic.blogspot.com.es/2013/05/simulation-class-intro-and-prerequisites.html

https://github.com/blackencino/SimClass

Altra bibliografia:

Krantz, Steven G.: Differential equations demystified , McGraw Hill, New York, 2005.
 QA371 .K63 2005

Simmons, George Finlay: Ecuaciones diferenciales, Con aplicaciones y notas históricas (2ª ed.), McGraw Hill, 1993.
 QA372 .S5618 1993

Braun, Martin : Differential equations and their applications : short version, Springer-Verlag, New York, 1978 QA371 .B73 1978

Courant, Richard i John, Fritz : Introducción al cálculo y al análisis matemático (2 vols.), Limusa, Mexico, 1971-78. QA303 .C6818 1988 QA76.73.P75 S55 2008