Curs 2015-16

Càlcul i Mètodes Numèrics

Titulació: Codi: Tipus:
Grau en Enginyeria Informàtica 21403 Bàsica 1r curs
Grau en Enginyeria Telemàtica 21295 Bàsica 1r curs
Grau en Enginyeria en Sistemes Audiovisuals 21592 Bàsica 1r curs

 

Crèdits ECTS: 8 Dedicació: 200 hores Trimestre: 1r i 2n

 

Departament: Dept. de Tecnologies de la Informació i les Comunicacions
Coordinador: Angel Garcia
Professorat:

Anna Carreras, Víctor Casamayor, José Maria Esnaola, Àngel García-Cerdaña, Gloria Haro, Maria Oliver, Roberto Pérez, Jordi Taixés.

Idioma:

Anna Carreras (català), Víctor Casamayor (català), José Maria Esnaola (castellà), Àngel García-Cerdaña (català), Gloria Haro (català), Maria Oliver (català), Roberto Pérez (castellà), Jordi Taixés (català).

Horari:
Campus: Campus de la Comunicació - Poblenou

 

Presentació de l'assignatura

Aquesta assignatura, juntament amb l’assignatura d’Àlgebra i Matemàtica Discreta proporcionarà als estudiants la base matemàtica per a treballar els conceptes propis dels d’estudis d’Enginyeria que s’aniran introduint en assignatures que es cursen en paral·lel o posteriorment.

Parteix dels conceptes que els estudiants han treballat en el Batxillerat i es consoliden i amplien.

L'assignatura consta de dues parts, que es desenvoluparan, respectivament, en el primer i segon trimestre. La primera part està basada en l'estudi de funcions d'una sola variable mentres que la segona tracta de funcions de diverses variables.

En la primera part, corresponent al primer trimestre, es fa una revisió dels conjunts numèrics fent èmfasi en el càlcul amb als nombres reals i la destresa en treballar amb desigualtats algebraiques i el valor absolut. Es treballa la presentació dels conceptes amb notació científica pròpia d’una enginyeria, i l’anàlisi i el rigor en la resolució de problemes i en la presentació de la resposta. Es consoliden els conceptes relatius a funcions reals de variable real introduïts en el Batxillerat i se n’amplia el seu abast: definició de funció, domini, propietats bàsiques, límits, estudi de continuïtat, derivabilitat i integració. També s'estudia l’aproximació de funcions suficientment derivables a través del seu polinomi de Taylor d'ordre n. D'altra banda, es treballaran alguns mètodes d'aproximació numèrica d'integrals. També s'introdueix el càlcul numèric a través del mètode de Newton 1-D per trobar arrels de funcions. En les darreres classes s'introdueixen les successions i sèries de nombres reals, així com les successions i sèries de funcions.

La segona part, corresponent al segon trimestre, esten al context de funcions de diverses variables molts dels conceptes estudiats en la primera part. En concret treballarem els següents conceptes: definició de funció de diverses variables reals, domini, imatge, corbes i trajectòries, superfícies, derivació, subespais tangents, aproximació local, integració en diverses variables. Aplicarem aquests coneixements en problemes d'optimització, és a dir, a l'estudi d'extrems lliures i condicionats mitjançant l'ús de multiplicadors de Lagrange. En quant a mètodes numèrics estudiarem l'extensió del mètode de Newton a diverses variables i el mètode de descens/ascens de gradient per tal de resoldre problemes d'optimització i sistemes d'equacions no lineals.

Consolidar els coneixements bàsics de matemàtiques, introduir el llenguatge científic i treballar el raonament rigorós són objectius bàsics de l’assignatura. Un altre objectiu és que l'estudiant conegui el significat intrínsec dels conceptes del càlcul diferencial i sàpiga aplicar-los a la resolució de problemes concrets, que es presentaran sobretot a les classes de pràctiques i seminaris.

Aquesta assignatura té relació amb moltes altres assignatures del Pla docent dels Estudis de Grau tal com Àlgebra Lineal i Matemàtica Discreta, Probabilitat i processos estocàstics, Senyal i Sistemes, Ones i Electromagnetisme, Infografia, Equacions Diferencials, Processament del Senyal, Geometria Computacional, Imatge Sintètica, Sistemes de comunicació, Transmissió de Dades i Codificació, Radiocomunicacions, Processament de la Parla, Processament d'Imatges, Sistemes de Codificació de Veu i Àudio, Sistemes de Codificació d'Imatge i Vídeo, Visualització Avançada, Processament de Vídeo, Processament d'Àudio en Temps Real, Enginyeria Acústica, Enginyeria Òptica, Percepció i Cognició Audiovisual, Acústica Arquitectònica, Circuits Electrònics i Mitjans de Transmissió, Processament de So i Música, Fonaments Computacionals dels Sistemes Audiovisuals, Anàlisi i Interpretació d'Imatges, Reconeixement de Patrons, Àudio 3D, Visió Tridimensional, Imatge Sintètica.

 

Prerequisits

Aquesta assignatura pressuposa una base matemàtica mínima de nivell de batxiller o de formació professional. En particular, nocions i procediments bàsics de càlcul i geometria del pla. És recomanable que els estudiants hagin cursat el curs (o tinguin el nivell del curs) d’introducció a les matemàtiques que l’ESUP oferta el mes de setembre.

Observació important: per poder desenvolupar el curs és fonamental que els estudiants sàpiguen resoldre equacions i inequacions algebraiques i trascendents (exponencials, logaritmíques, trigonomètriques) i que coneguin els conceptes bàsics relatius a les rectes. Al principi de l'assignatura es farà un breu repàs d'aquests temes (relacionant-los amb la determinació del domini de funcions). És imprescindible que els estudiants tinguin una excel·lent habilitat en la resolució d'equacions i inequacions i per això els recomanem fer exercicis amb llibres de batxillerat o consultant la pàgina web del Programa Descartes del Ministeri d'Educació.

 

Competències

Competències transversalsCompetències específiques

Instrumentales

1. Capacitat de comprendre i analitzar enunciats matemàtics.

2. Capacitat d'identificar la metodología adequada per analitzar un problema i trobar la seva solució.

3. Habilitat d'expressar idees i conceptes matemàtics de forma oral i escrita de manera precisa.

4. Capacitat d'abstracció.

Interpersonals

5. Capacitat de treballar en equip tant per resoldre problemes com per profunditzar continguts teòrics.

6. Capacitat de comunicar idees de forma precisa, tant de forma oral com escrita.

Sistèmiques

7. Capacitat de treballar de forma autònoma per a resoldre un problema.

8. Capacitat de buscar les solucions més adequades segons les característiques de cada context.

9. Capacitat d'inferir nocions matemàtiques.

10. Acostumbrar-se a la comprovació i interpretació de les solucions, no oblidant-se dels casos particulars.

1. Capacitat d'identificar i justificar l'aplicació del model matemàtic adequat per analitzar un problema i trobar la seva solució.

2. Habilitat d'expressar idees i conceptes matemàtics de forma oral i escrita de manera precisa.

3. Capacitat d'entendre i saber reproduir demostracions teòriques.

4. Capacitat de resoldre els problemes relatius a límits, derivades i integrals en una i diverses variables, estudi gràfic de funcions d'una variable, optimizació en una i diverses variables.

5. Capacitat d'utilitzar els mètodes numèrics presentats per aproximar la solució de problemes que no es poden resoldre de forma analítica.

 

Avaluació

La nota final (NF) de l'assignatura serà la mitjana aritmètica de les dues parts (trimestres) del curs (NT1 i NT2) amb la condició de que s'aprovin els dos trimestres. La fórmula per calcular la nota final és la següent:

Si NT1> = 5, NT2> = 5,
NF = 0.5 * (NT1 + NT2)
- Si no,
NF = min (NT1, NT2)

Avaluació de cadascuna de les parts del curs:

Hi haurà una prova final al desembre (o bé al març si es tracta del segon trimestre) en la qual és imprescindible obtenir una nota major o igual que 4 (sobre la nota màxima de 10) per poder aplicar la nota de l'avaluació contínua.

La nota de cada trimestre es calcula de la següent manera, on Nc és la nota de l'avaluació continuada i Ex. Final és la nota de l'examen final del trimestre:

 -Si Ex. Final> = 4,
NTX = 0.6 * Ex. Final + 0.2 * Parcial + 0.1 * Prac1 + 0.1 * Prac2
-sinó,
NTX = Ex. Final


Les diferents activitats avaluables que es tenen en compte per a la nota són:

Examen Final: Examen final del trimestre que es realitzarà durant l'època d'exàmens de desembre (o març si es tracta del segon trimestre). Contindrà preguntes teòriques i exercicis sobre tots els blocs del trimestre. L'activitat és recuperable al juliol.

Parcial: És una prova parcial a la meitat del trimestre per a avaluar la preparació teòrica i pràctica dels estudiants i consta de vint preguntes tipus test. La durarda és de dues hores. És una activitat no recuperable.

Pràctiques: Dues pràctiques de laboratori sobre mètodes numèrics. La pràctica es comença a preparar de forma individual en un aula amb ordinadors. Abans d'acabar la classe, es realitza un petit test, que s'ha d'aprovar per a poder passar a la fase desenvolupament i entrega de la pràctica. Els alumnes que superin el test hauran de triar una parella que també tingui aprovat el test -és un treball pensat per a ser realitzat en equip- i disposen d'una setmana per a entregar la memòria de la pràctica. No s'admetran grups de tres o més persones. Només s'admetran treballs per parelles i, excepcionalment, per causa justificada i prèvia confirmació del professorat, treballs individuals. Les dues pràctiques són activitats no recuperables.

 

Recuperació (Juliol): Durant el mes de juliol es realitzaran dos exàmens de recuperació el mateix dia i en hores consecutives: un corresponent al primer trimestre i un altre corresponent al segon trimestre. Si un alumne té aprovat un trimestre i l'altre no, s'ha de presentar només a la recuperació del trimestre que tingui suspès. La nota de l'examen de recuperació substitueix la nota de l'examen final del trimestre corresponent, i les notes es calculen amb les mateixes fórmules. Això implica que és molt important que tots els alumnes es presentin a totes les proves no recuperables per a evitar arrossegar un dèficit que pot tenir conseqüències negatives en el còmput final de la nota.

 

 

Continguts

Primera part:

Bloc 1.

Tema 1.

Introducció al curs, conjunts, el concepte d'element genèric d'un conjunt, notació matemàtica, conjunts numèrics, intervals reals, implicacions, quantificadors, demostració per absurd.

Tema 2.

Funcions reals d'una variable real: generalitats, gràfic, propietats, operacions algebraiques, composició, inversió, funcions elementals i els seus gràfics, operacions sobre gràfics: translació, dilatació, simetries del valor absolut, càlcul de dominis de funcions (fent repàs d'equacions i inequacions algebraiques i trascendents).

 

Bloc 2.

Tema 3.

Límits funcionals, límits per l'esquerra i la dreta, continuïtat, infinits i infinitèssims d'ordre superior i inferior, límits indeterminats, expressions asimptòtiques, límits notables, càlcul de límits de polinomis. Derivació, diferenciació, equivalènvia entre aquests dos conceptes, diferencial, el concepte de linealització local, recta tangent al gràfic d'una funció en un punt, derivades de funcions elementals.

Tema 4.

Teorema de Lagrange i de l'Hôpital, ordres d'infinits i infinitèssims, derivades d'ordre superior, concavitat i convexitat, desenvolupament de Taylor d'una funció, aplicació al càlcul de límits en forma indeterminada,e studi gràfic de funcions, el concepte d'optimització i exemples concrets.

Bloc 3.

Tema 5.

El mètode de Newton 1-D per a la determinació de zeros de funcions, errors en els mètodes iteratius, aplicació a la determinació aproximada de punts notables per a l'estudi gràfic d'una funció.

 

Bloc 4.

Tema 6.

Introducció a les integrals, construcció de Riemann, primitives, teorema fonamental del càcul i teorema de a mitja integral. Càlcul d'integral inmediates, semi-inmediates, per substitució i per descomposició en fraccions parcials, aproximació numèrica: la fórmula de Cavalieri-Simpson, aplicacions.

 

Bloc 5.

Tema 7.

Inducció matemàtica. Successions, sèries numèriques. Sèries de termes no negatius. Criteris de convergència.

Tema 8.

Successions i sèries de funcions. Sèries de potències. Sèries de Fourier.

Segona part:

Bloc 1.

Tema 1.

Espai Euclidià real n-dimensional, introducció a les funcions de diverses variables i operacions entre elles, el concepte de funcions component de funcions a valors vectorials.

 

Bloc 2.

Tema 2.

Corbes com exemple notable de funcions a valors vectorials, corbes suaus, rectes tangent i velocitat, longitud d'una corba, integral de línia. Superfícies com exemple notable de funcions de dos variables, corbes de nivell, còniques i quàdriques.

 

Bloc 3.

Tema 3.

Càlcul diferencial en diverses variables: derivades parcials, gradient, derivades direccionals, teorema del gradient i direccions de màxim creixement i decreixement, pla tangent, amtriu Jacobiana, regla de la cadena, derivades d'ordre superior, matriu Hessiana, fórmula de Taylor.

Tema 4.

Optimització en diverses variables: extrems lliures i vinculats, tècnica dels multiplicadors de Lagrange. 

 

Bloc 4.

Tema 5.

Mètodes numèrics iteratius de Newton n-D i dels descens/ascens per gradient: aplicacions a la resolució aproximada de sistemes no lineals i de problemes d'optimització.

 

Bloc 5.

Tema 6.

Integrals dobles i triples. Integral de superfície.

 

Metodologia

Durant cada bloc de temes teòrics, es proposaran exercicis de repàs i de consolidació. La resolució d'aquests exercicis servirà a l'estudiant per testejar la seva comprensió dels arguments presentats. Les hores de dedicació varien de persona a persona. Durant les hores de seminaris els estudiants seran convidats a presentar les solucions dels exercicis proposats i a discutir amb els docents els eventuals dubtes o dificultats que han tingut durant la resolució dels exercicis. Considerem molt important aquesta interacció, per tant és important que els estudiants vinguin amb els exercicis fets als seminaris o, si han tingut problemes, amb els seus intents de solució. Les hores de pràctiques seran dedicades majoritàriament a exercicis numèrics i a les aplicacions de modelatge de problemes reals.

 

Recursos

Bibliografia bàsica:

Apunts de la primera i la segunda part de l'assignatura.

G. STRANG, Calculus, Wesley-Cambridge Press, 1992, disponible online:

http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm

T.M. APOSTOL: Calculus. Vol 1&2, 2a ed., Editorial Reverte, 1992;

M. SPIVAK: Calculo infinitesimal, 3a ed., Cambridge University Press, 2006.

J E MARSDEN, A J TROMBA: Cálculo Vectorial, 4ª Edición, Addison-Wesley Longman, México, 1998.

F GRANERO: Ejercicios y problemas de cálculo, Toms 1 i 2, Ed Tebar Flores, Madrid, 1991.

Bibliografia complementària:

G. BARTLE i S. SHERBERT, Introducción al Análisis Matemático de una variable, Ed. Limusa, 1986.

S. THOMPSON, Calculus Made Easy, Macmillan, 1914 (sense copyright, disponible arreu)

R. COURANT and F. JOHN, Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático, Ed. Limusa, 1990.

S. LANG, Introducción al Análisis Matemático, Addison-Wesley Iberoamericana, 1990.

DEMIDOVICH, B. Problemas y ejercicios de análisis matemático. Ed. Paraninfo 1993.

R. L. BURDEN, J. D. FAIRES, Análisis numérico, International Thomson, 1998.

C. MARTÍNEZ i M. SANZ, Análisis de una variable real, Ed. Reverté, 1992.

J. ORTEGA, Introducció a l'Anàlisi Matemàtica, Manuals de la UAB, 1990.

C. PERELLÓ. Càlcul infinitesimal, Biblioteca Universitària, 21. Enciclopèdia Catalana, 1994.

L V FAUSETT: Applied Numerical Analysis using Matlab, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 1999. 

SALAS,S.L.; HILLE,E, ETGEN. Calculus Una y varias variables. Vol I i II, 4ª ed. Ed. Reverté, 2005.