Atrás Un nuevo puente entre la geometría de fractales y la dinámica de la sincronización parcial

Un nuevo puente entre la geometría de fractales y la dinámica de la sincronización parcial

Se muestra en un artículo que publica la revista Chaos el 3 de mayo, del que es autor Ralph G. Andrzejak, responsable del Nonlinear Time Series Analysis Group.

06.05.2021

Imatge inicial

En matemáticas, las ecuaciones simples pueden generar una evolución compleja en el tiempo y patrones intrigantes en el espacio. Un ejemplo famoso es el conjunto de Mandelbrot, que recibe el nombre del matemático francés-americano de origen polaco Benoit B. Mandelbrot (1924-2010) y que es el fractal más estudiado. Este conjunto se basa en una única ecuación de segundo grado con sólo un parámetro y una variable. Los fascinantes patrones fractales del conjunto de Mandelbrot han atraído la atención, mucho más allá de las matemáticas.

Un artículo de Ralph Andrzejak "Chimeras confined by fractal boundaries in the complex plane', forma parte de una edición especial de la revista Chaos en memoria del profesor ruso Vadim S. Anishchenko, (1943-2020), que se ha publicado el 3 de mayo del 2021. Andrzejak es responsable del Nonlinear Time Series Analysis Group en el Departamento de Tecnologías de la Información y las Comunicaciones (DTIC) de la UPF. El trabajo generaliza el conjunto de Mandelbrot para cuatro ecuaciones de segundo grado. La figura que se muestra más arriba es un ejemplo de los patrones generados por este enfoque.

Un viaje por muchas órdenes de magnitudes

Andrzejak señala que "la complejidad de los patrones fractales se aprecia cuando gradualmente nos acercamos a los detalles cada vez más pequeños", lo que el autor lo ilustra en la imagen que se muestra a continuación. El autor explica la imagen diciendo que "a escala global, el patrón que se muestra en el panel superior izquierdo de la figura se parece al conjunto clásico de Mandelbrot. Sin embargo, una vez que inspeccionamos los detalles, podemos ver patrones que no se pueden encontrar en el conjunto de Mandelbrot. Para ver mejor estos detalles, aumentamos el cuadrado para producir el siguiente panel".

El autor utiliza una comparación para subrayar que estos patrones se encuentran efectivamente en muchos órdenes de magnitud. Afirma que "el zoom aplicado a los doce paneles que configuran la imagen corresponde a aumentar un átomo al tamaño de un coche SUV". "A medida que vamos aplicando el zoom aumentando el tamaño de la imagen vemos que aparece una rica variedad de formas estéticamente intrigantes. Los patrones que hemos descubierto pueden parecer que tienen menos filigranas y que están más desordenados, pero pueden llegar a ser más variados que los que se encuentran en el conjunto de Mandelbrot".

La interacción de los fractales y la sincronización

Pero hay más que patrones fractales para acercarse a la propuesta de Andrzejak. Como el autor utiliza cuatro ecuaciones en lugar de una, ha podido estudiar también la sincronización dentro de estos patrones fractales. Como lo podemos entender? Andrzejak lo explica diciendo "el conjunto de Mandelbrot se basa en una ecuación con un parámetro y una variable. Esta variable la podemos imaginar como una pequeña bola en movimiento sobre la superficie de una gran mesa redonda. Lo que pase con esta bola depende del parámetro de la ecuación. Para algunos valores de este parámetro, la bola se mueve y se queda siempre sobre la mesa. El conjunto de todos estos valores de parámetros para los que la bola se queda sobre la mesa es el que define el conjunto de Mandelbrot. Por el contrario, para los valores de parámetros restantes, el balón cae de la mesa en algún momento en el tiempo ".

 "Si estudiamos los mecanismos básicos de sincronización parcial en modelos muy sencillos, esto puede contribuir a entender cómo se establece y se puede mantener estable en sistemas tan complicados como el cerebro humano"

Andrzejak continúa diciendo que "se puede pensar que las cuatro ecuaciones que estamos utilizando describen el movimiento no sólo de una, sino de cuatro bolas en la superficie de la mesa. Como las ecuaciones están conectadas, las bolas no pueden moverse libremente. en cambio, se atraen, al igual que el sol, la tierra y la luna se atraen mutuamente a través de la gravedad". El investigador añade que "a consecuencia de esta atracción, las cuatro bolas pueden mostrar diversas formas de sincronización. Los dos extremos son los siguientes: Las cuatro bolas se mueven juntas por los mismos caminos o cada bola sigue su propio camino". Andrzejak subraya entonces que "lo más importante, más allá de estos extremos, es encontrar la llamada sincronización parcial. Por ejemplo, dos bolas pueden moverse juntas sincronizadas, mientras que las otras dos bolas permanecen no sincronizadas a partir de este movimiento. Este estado particular de sincronización parcial lo denomino estado de quimera", de ahí título del artículo.

Una cuestión de alta relevancia para las dinámicas del mundo real

Si nos preguntamos si el modelo matemático mencionado puede ser relevante para la dinámica del mundo real, Andrzejak responde "Sí. Totalmente. El mejor ejemplo es el cerebro. Si todas nuestras neuronas se sincronizaran o se desincronizaran, nuestro cerebro ya no podría hacer su función. Nuestro cerebro sólo puede funcionar correctamente si algunas neuronas se sincronizan mientras que otras neuronas permanecen desincronizadas. La sincronización parcial es esencial para el correcto funcionamiento del cerebro". El autor lo relaciona con su trabajo diciendo: "demostramos cómo se puede establecer la sincronización parcial en un modelo muy sencillo y, además, mostramos cómo esta sincronización parcial se confina dentro de los límites fractales mediante una sincronización y una desincronización completas". El autor concluye: "Si estudiamos los mecanismos básicos de la sincronización parcial en modelos muy sencillos, esto podría contribuir a entender cómo se establece y se puede mantener estable en sistemas tan complicados como el cerebro humano".

Trabajo de referencia:

Ralph G. Andrzejak (2021), "Chimeras confined by fractal boundaries in the complex plane", Chaos, 31, 3 de mayo, doi: https://doi.org/10.1063/5.0049631

Para obtener un pdf del artículo, pueden contactar con el investigador principal a: [email protected]

 

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