|
|
|
| IV. Conseqüències del sistema matemàtica dels Principia | |
Aquest treball té com a objectiu entendre per què molts estudiosos de Newton estan d´acord en afirmar que possiblement l´aportació més important d´aquest físic anglès sigui no tant la llei de la gravetat, per la qual se´l coneix generalment, sinó el mètode matemàtico-experimental basat en el càlcul que usà per explicar el seu model natural i astronòmic. Aquest mètode està exposat en l´obra de l´autor De Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. El procediment que es durà a terme serà el següent: en primer lloc, situarem a Newton dins el context de l´anomenada "revolució científica" del s.XVII; en segon lloc, ens centrarem en el mètode matemàtic dels Principia explicant com Newton arriba al càlcul infinitessimal i, finalment, farem una valoració aproximativa sobre què va significar l´ús del mètode matemàtico-experimental, especialment pel que fa al càlcul.
II.
Newton i la revolució científica del S.XVII
La comunment anomenada "revolució científica" abraça des de finals del s.XV i principis del s.XVI fins a finals del s.XVIII (1) i principis del XVIII i es dóna a Europa, especialment a Itàlia, França, Alemanya i Anglaterra. Bernal (2) divideix en tres etapes aquest període: la primera, 1440-1540, on destaca l´aportortació de Copèrnic amb el seu model astronòmic, alternatiu al ptolemaic; una segona, 1540-1650, on subratlla el reforçament del model copernicà per part de Gal·lileu i Kepler i l´aparició de nous mètodes experimentals. Dins d´aquesta segona etapa, apareixen filòsofs com Bacon, a Anglaterra, i Descartes, a França. A la tercera fase, 1650-1690, apareixen les societats científiques i científics (3) com Boyle, Hooke, Huygens, Leibniz o Newton.
En la revolució científica del s.XVII, es desenvolupen sobretot els camps de la mecànica i l´astronomia, camps que es fusionaran en el model astronòmic i natural newtonià, que es basava en l´acceptació d´una llei del moviment dels cossos aplicable tant en l´àmbit terrenal com en el celestial: la llei de la gravetat. La matemàtica experimenta també un gran desenvolupament, especialment perquè apareix un nou esperit, explicitat per Gal·lileu, que demana una correspondència entre teoria i experiència i que permetrà l´elaboració d´una nova imatge del món quantitativa, secular i infinita, contra una d´antiga que prové de la tradició aristotèlico-ptolomeica qualitativa, teològica i limitada.
ISAAC NEWTON
Científic anglès (1642-1727), estudià matemàtiques i física a la Universitat de Cambridge, on posteriorment fou nomenat "fellow" i exercí de professor de matemàtiques, succeint al seu mestre Isaac Barrow. Fou membre de la jove generació de la Royal Academy de Londres, que presidí fins a la mort. Les seves aportacions més importants són el càlcul, la idea de la gravitació universal i la teoria de la llum i els colors. Les seves obres capdals són De Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687) i Opticks (1702) (4).
Newton està dins d´una tradició que prové ja de l´Antiguitat clàssica que considera l´Univers com un tot ordenat: l´Univers és un Cosmos. Com a tot ordenat, l´univers es regeix per unes lleis que poden formular-se en equacions matemàtiques que permeten obtenir quantificacions exactes.
Partint d´aquesta concepció, entre 1685 i 1687, Newton redacta De Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, tractat físico-matemàtic on s´exposava un model de l´univers -fruit d´una síntesi d´aportacions com les de Copèrnic, Gal·lileu, Descartes, Kepler, Gilbert, Borelli, Boyle, Huygens o Hooke (5)- demostrat a partir d´un nou sistema matemàtic. Segons Escohotado, "los Principia se concentran en una idea expresable con pocas palabras diciendo que toda partícula de materia del universo atrae a toda otra con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de las distancias entre sus centros –la coneguda llei de la gravetat-. El concepto, no aparece por lo demás con esa formulación textual en el tratado, que es exclusivamente su verificación matemática"(6).
Aquesta demostració matemàtica és duta a terme segons l´anomenat pel mateix autor "mètode de fluxions", llavor del que serà anomenat posteriorment càlcul infinitesimal. Cal advertir, no obstant, que el tractat es redacta segons el mode geomètric tradicional amb l´objectiu d´arribar a un públic més ampli, avesat a l´ús d´aquest i sense coneixements suficients com per seguir les operacions de càlcul d´una complexitat tan extrema.
D´altra banda, no és tan sols important i innovador l´ús del càlcul, sinó també el que ha estat anomenat pels estudiosos el "mètode matematico-experimental", que implica la correspondència i recíproca verificació de les operacions numèriques aritmètiques amb les observacions empíriques. Això vol dir que una observació en el món físic, de l´experiència, s´havia de correspondre amb una operació matemàtica, de la mateixa manera que una operació matemàtica havia de tenir un suport empíric.
L'ESTRUCTURA DE L'OBRA
L´obra comença amb un prefaci on, en la 1a edició, Newton diu "la geometría se funda en la práctica mecánica y no es sino aquella parte de la mecánica universal que propone y demuestra con exactitud el arte de medir"(7). Escohotado aclareix aquesta afirmació dient que, sabent dibuixar tangents a les corbes i trobar les àrees compreses per aquestes (processos de diferenciació i integració que s´aclariran més endavant i que formen part del càlcul), és possible adentrar-se amb la geometria al món real i- sense inventar hipòtesis- mesurar temps i espais, masses i velocitats, fins arribar a l´equació fonamental (8). Això permetrà a Newton endinsar-se en els problemes físics i empírics sobre el moviment i els fenòmens naturals amb seguretat i lluny de les qüestions ontològiques, en un pla abstracte.
L´obra s´inicia pròpiament amb les "Definiciones", un conjunt de vuit definicions dels conceptes fonamentals de la mecànica: massa, quantitat de moviment, inèrcia, força impresa, la força centrípeta i quatre últimes definicions relacionades amb la força centrípeta, que reben un tractament matemàtic. Per exemple, la definició VIII diu que "la cantidad motriz de una fuerza centrípeta es una medida proporcional al movimiento que genera en un tiempo dado".
Seguidament, l´autor exposa els "Axiomas o leyes del movimiento", les lleis de la inèricia, de la proporcionalitat entre força motriu i quantitat de moviment i la d´igualtat entre l´acció i la reacció, sobre els quals es construeix tota la teoria matemàtica.
A continuació, l´obra es divideix en tres llibres. En el llibre I, titulat "El movimiento de los cuerpos", Newton desenvolupa la teoria de la dinàmica basada en les lleis del moviment i demostrada segons el "mètode de fluxions"-explicat més endavant-, mitjançant la forma proposicional. Moltes de les proposicions del llibre I són qüestions matemàtiques necessàries per demostrar la mecànica celeste del llibre III. Per això, constantment en el darrer llibre es remet com a argumentació a les proposicions del primer.
En el primer llibre, Newton fa servir operacions matemàtiques i fa una abstracció matemàtica de la massa de tots els "cossos", de manera que esdevindran mers punts i no cossos en el sentit físic. No obstant, és evident que, tot i que els cossos apareixen com a punts i reben un tractament matemàtic, tenen en la realitat una dimensió física, cosa que estableix una connexió entre els conceptes matemàtics i els conceptes físics.
En el llibre II, titulat "El movimiento de los cuerpos (en medios resistentes)", Newton, recolzant les lleis de Kepler, intenta desmuntar la teoria dels vòrtexs cartesiana i posar en evidència també mitjançant demostracions matemàtiques la manca d´exactitud de les teories cartesianes. En aquest segon llibre es veu de forma més clara la combinació de matemàtiques i experiments . Hall diu al respecte que "entrando en la teoría de los fluídos, mostrando con cuanta precisión podía confirmarse la teoría del movimiento de los flúídos mediante experimentos sobre la oscilación de los péndulos o la caída de los cuerpos pesados en el aire o agua, transladó su discurso del mundo matemático de las abstracciones al mundo real de la física"(9).
Finalment, el llibre III és el "Sistema del Mundo (Matemáticamente tratado)". En aquesta part es tracta específicament la mecànica celeste. El llibre es compon per les "Reglas para filosofar", els "Fenómenos"(una sèrie d´observacions astronòmiques), les "Proposiciones" i "El movimiento de los nodos de la Luna", que fou un problema que no va aconseguir resoldre matemàticament.
El que diferencia els plantejaments
de models astronòmics com els de Copèrnic, Gal·lileu o Kepler del de Newton
és que aquest posa l´antenció no tant en si el moviment dels cossos és el·líptic
o circular ni si és de rotació o orbital, sinó que pretén determinar quina és
l´equació que permetrà obtenir exactament aquest moviment, basant-se en el càlcul
de les masses i distàncies entre cossos celestes. Newton proposava un model
astronòmic quantitatiu i infinit, que permetia reduir l´Univers a operacions
amb resultats exactes segons el nou mètode del càlcul infinitesimal.
EL CÀLCUL INFINITESIMAL
La invenció del càlcul infinitesimal se´l han disputat històricament Leibniz i Newton, tot i que actualment sembla ser que Newton el va descobrir abans, tot i que va ser Leibniz qui el va publicar primer.
Cal aclarir abans de tot que per càlcul entenem un seguit de mètodes que s´apliquen a un conjunt de símbols o nombres i que permeten obtenir el resultat d´una operació o problema.
El càlcul ja es desenvolupa a l´Edat Mitjana, però sobre operacions aritmètiques i algebraiques i sense coneixement de les obres clàssiques(10). El coneixement de l´àlgebra i l´atenció a les sèries infinitesimals durant els s.XVI i XVII seran dos elements claus per al desenvolupament del càlcul .
El descobriment de les obres d´Arquimedes el s.XVI va permetre que els seus estudiosos reprenguessin els mètodes infinitesimals, que Arquímedes no havia pogut desenvolupar per les limitacions dels coneixements del moment, i que obtinguessin els rudiments del que avui anomenem càlcul. Després d´aquests pioners, trobarem les obres de Kepler, Cavalieri o Torricelli, que conduiran a la invenció del càlcul per part de Newton i Leibniz.
Kepler ja s´adonà en el seu estudi sobre l´univers que estava tractant amb processos infinitesimals. No obstant, quan determinava els volums indentificava l´area del cercle amb un nombre de triangles infinit amb el vèrtex en el centre del cercle, emprant així un sistema geomètric que aspirava a la màxima exactitud però que implicava un seguit d´operacions massa llarg, i en certa mesura, gairebé impossible d´aconseguir. Calia trobar un mètode que permetés obtenir resultats quantitatius de manera més simple i exacta.
Paral·lelament, Gal·lileu, a qui hem situat en la mateixa etapa que Kepler, expressà el que seria el Zeitgeist de la ciència moderna declarant que era necessària l´harmonia d´experiment i teoria, posant l´accent en les matemàtiques. Tot i que Gal·lileu a Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (1638) va intentar fer un estudi matemàtic del moviment basat en les relacions existents entre distància, velocitat i acceleració, no va presentar una explicació sistemàtica del càlcul.
El primer que va fer una exposició dels resultats aconseguits fins al moment del càlcul fou Cavalieri a Geometria indivisibilibus continuorum (1635). En aquesta obra desesnvolupa un mètode d´integració, és a dir, de càlcul d´àrees, sense els obstacles de Kepler. No obstant, es basava en el concepte escolàstic i, per tant, de tradició aristotèlica de l´"indivisible", enlloc de tractar amb l´infinit. Cavalieri, però, va ser un estímul per als matemàtics de diferents països per estudiar el problema dels infinitesimals.
Descartes va dur a terme un profús estudi de la geometria clàssica i a la seva obra Géometrie trobem la llavor de l´anomenada geometria analítica. El mèrit de Descartes consistia en l´aplicació de l´àlgebra desenvolupada especialment en el s.XVI a l´anàlisi geomètrica dels antics, ampliant així les seves aplicacions. Amb ell també l´equació esdevingué una relació entre números i , per tant, un altre pas cap a l´abstracció matemàtica, que culminarà amb el càlcul.
El problema central que prenia cada cop més importància era el de la tangent, que consistia en trobar una manera per determinar una tangent, donada una corba en un punt concret. Aquí és quan es distingeixen, entre els matemàtiques de la comunitat científica europea, dues tendències o dos mètodes diferents d´abordar el problema: el geomètric i l´algebraic. Si Cavalieri, Torricelli, Barrow i Huygens es decantaven per la geometria sense preocupar-se massa pel rigor d´aquesta, d´altres com Fermat, Descartes, Wallis i finalment Newton i Leibniz es decantaven especialment pel camp de l´àlgebra. Aquest segon camí tenia ara possibilitats de desenvolupar-se. Segons Escohotado, "los desarrollos en teoria de funciones, combinados con las posibilidades de representación abiertas por la geometría analítica y el progresivo descubrimiento de los logaritmos, permiten hacer frente de otro modo al cálculo para las curvas clásicas, al mismo tiempo que descubren multitud de nuevas curvas puramente matemàticas"(11). A finals del s. XVII, doncs, ja s´havien definit molts dels elements del càlcul.
Wallis, a Arithmetica infinitorum (1655) fa una vertadera anàlisi algebraica i, tot i que els mètodes amb els infinitesimals són sovint rudimentaris, va obtenir nous resultats.
Isaac Barrow, professor de Newton, va influenciar, segons Escohotado, Newton amb la seva concepció dels nombres com a símbols de les magnituds geomètiques, a la vegada que concebia aquestes darreres com a ents que el moviment produia. Així establia una sèrie de passos o nivells d´abstracció cada cop més grans: des d´ents produits per quelcom físic (el moviment) a símbols que els representaven (els nombres). A més, Barrow va establir el teorema general del canvi de variables, pel qual es poden fer equacions diferencials, és a dir, el càlcul d´una pendent en un període de temps molt petit determinat per les variables x i y.
A través de l´obra de Wallis, Newton fa un estudi de les sèries infinites que exposarà en De analysi per aequationes numero terminorum infinitas escrit en 1669, però no publicat fins el 1711. De fet, Newton té ja cap a 1665-6 prou habilitat com per expressar funcions en aquests termes. Paral·lelament, s´interessa per la velocitat del canvi o fluxió de magnituds com poden ser longituds, àrees, volums, distàncies, temperatures, etc. A partir d´aquí, Newton va associar el problema de les sèries infinites i el de les velocitats de canvi, en el seu nou mètode, basant-se en la correspondència de quelcom abstracte amb quelcom físic tal i com feia Barrow.
En el "mètode de fuxions" , exposat per primera vegada als Principia, les "fluents" són per a Newton diferents funcions en un temps absolut, mentre que les "fluxions"són les derivades de les funcions. Segons S.Boyle, l´aportació de Newton és la combinació dels dos processos expressats dins el teorema general del càlcul, la diferenciació i la integració -que com hem vist ja eren coneguts- en un "algoritmo general aplicable a todas las funciones, tanto algebraicas como transcendentales"(12). El càlcul infinitesimal és, doncs, la contribució bàsica de Newton a la història de la matemàtica, contribució que suporta la teoria de la mecànica dels cossos dels Principia.
IV.
Conseqüències del sistema matemàtica dels Principia
L´abast del mètode matemàtico-experimental dels Principia i del càlcul infinitesimal és molt difícil de determinar. Tot i això, el que es pot deduir de la bibliografia consultada són algunes de les conseqüències principals que tot seguit exposarem.
En primer lloc, el nou mètode permetia determinar la posició d´un planeta de manera exacta a partir d´un mínim d´observacions, contra l´extensió empírica dels seus precedents. A partir de llavors, les taules astronòmiques són molt més exactes. A més, el càlcul infinitesimal permetia també determinar el moviment d´un cos en un moment qualsevol. A la vegada, això implicava un guany encara major: ara es podia preveure el moviment d´un cos.
En segon lloc, es demostrava que el món era ordenat i dinàmic: era mogut per lleis senzilles demostrables matemàticament. Per tant, s´obria el camí a una concepció secular de l´Univers, tot i que Newton no en faci personalment aquesta interpretació.
D´aquesta manera es posava també en evidència que la interacció de teoria i pràctica, de matemàtica i experimentació permetia major precisió. No obstant, la combinació newtoniana no es desenvoluparà posteriorment i es donarà una escisió entre la filosofia matemàtica i la filosofia experimental.
Finalment, Hall valora el llegat de la revolució científica que culmina, segons ell, amb Newton: "el principio que guiava la revolución científica (era que) creían en una creación natural, ordenada y real, independiente del hombre pero conocible racionalmente para él de tal manera que era posible descubrir sus propiedades y leyes. Su creencia perdurará hasta hace poco más de medio siglo y, aunque ya no está justificada por los principios matemáticos de la filosofía natural, en la práctica sigue siendo el sustrato de gran parte de la labor científica"(13).
Il.lustració
de W. BLAKE, Newton
NOTES:
1. Respecte a la cronologia, mer sistema classificador convencional, hi ha discrepàncies: BERNAL a Historia social de la ciencia. (Barcelona, Península, 1979) situa la revolució científica entre 1440 i 1690. Per la seva banda, A.R.HALL a La revolución científica 1500-1700 (Barcelona, Crítica, 1985) la situa en un període més avançat.
2. BERNAL, op. cit.
3. Tot i que s´usi el terme "científic", cal no entendre´l en un sentit actual. El seu ús respon a la manca d´un terme que englobi l´heterogeneitat de disciplines de les figurs citades amb un significat històric adequat.
4. En aquest punt s´ha desenvolupat de manera molt breu la biografia de Newton. Remeto, però, a la completa biografia de R. S. WESTFALL, Isaac Newton: una vida.Madrid, Cambridge University Press, 1996 (original, 1993). També es pot consultar l´article d´O´CONNOUR i ROBERTSON "Sir Isaac Newton" a http: //www.groups.dcs.st.and.ac.uk:80/history/mathematicians/Newton.htm (consultat el 22/05/00), on es combinen de forma clara les dades biogràfiques i les influències o relacions amb altres científics.
5. L´aspecte físic del model, les lleis del moviment, no es tractaran en aquest punt. Per això remeto a la web citada anteriorment, així com a R.A.WESTFALL,La construcción de la mecánica moderna: mecanismos y mecánica. Barcelona, Labor, 1980.
6. A. ESCOHOTADO (ed.), "Estudio preliminar", a I.NEWTON Principios matemáticos de la filosofía natural. Madrid, Tecnos, 1987, p. 21.
7. Les cites dels Principia les extrec de la traducció d´ESCOHOTADO, referida a la cita 6. En aquest cas, p.6.
8. A. ESCOHOTADO, op. cit., p.28.
9. HALL, op. cit.
10. En relació al càlcul i l´àlgebra a l´Edat Mitjana, vegeu BENOIT, "Cálculo, álgebra y mercanció", dins SERRES, Historia de las ciencias. Madrid, Cátedra, 1991, pp.255-286.
11. A. ESCOHOTADO, op.cit., p.57.
12. S.BOYLE, Historia de la matemática. Madrid, Alianza, 1987, p.501.
13. HALL, op.cit., p.536.
-BERNAL. Historia social de la ciencia. Barcelona, Península, 1979.
- BOYLE, S. Historia de la matemática. Madrid, Alianza Universidad Textos, 1987.
- CHANDRASEKHAR. Newton´s Principia for the common reader. Oxford, Oxford University Press, 1995.
- HALL, A. R. La revolución científica . 1500-1750. Madrid, Crítica, 1985.
- NEWTON, I. Principios matemáticos de la filosofía natural. Ed. ESCOHOTADO. Madrid, Tecnos, 1987.
- SERES, M. Historia de las ciencias. Madrid, Cátedra, 1991.
- STRUIK, D.J. A Concise history of mathematics. New York, Dover Publications, 1987.
- WESTFALL, R.S. Isaac Newton: una vida. Madrid, Cambridge University Press, 1996.
i La construcción de la ciencia moderna: mecanismos y mecánica. Barcelona, Labor, 1980.
