calcul infinitessimal

El problema central que prenia cada cop més importància era el de la tangent, que consistia en trobar una manera per determinar una tangent, donada una corba en un punt concret. Aquí és quan es distingeixen, entre les matemàtiques de la comunitat científica europea, dues tendències o dos mètodes diferents d´abordar el problema: el geomètric i l´algebraic. Si Cavalieri, Torricelli, Barrow i Huygens es decantaven per la geometria sense preocupar-se massa pel rigor d´aquesta, d´altres com Fermat, Descartes, Wallis i finalment Newton i Leibniz es decantaven especialment pel camp de l´àlgebra. Aquest segon camí tenia ara possibilitats de desenvolupar-se. Segons Escohotado, "los desarrollos en teoria de funciones, combinados con las posibilidades de representación abiertas por la geometría analítica y el progresivo descubrimiento de los logaritmos, permiten hacer frente de otro modo al cálculo para las curvas clásicas, al mismo tiempo que descubren multitud de nuevas curvas puramente matemàticas". A finals del s. XVII, doncs, ja s´havien definit molts dels elements del càlcul.
Wallis, a Arithmetica infinitorum (1655) fa una vertadera anàlisi algebraica i, tot i que els mètodes amb els infinitesimals són sovint rudimentaris, va obtenir nous resultats.

Cal aclarir abans de tot que per càlcul entenem un seguit de mètodes que s´apliquen a un conjunt de símbols o nombres i que permeten obtenir el resultat d´una operació o problema.
El càlcul ja es desenvolupa a l´Edat Mitjana, però sobre operacions aritmètiques i algebraiques i sense coneixement de les obres clàssiques. El coneixement de l´àlgebra i l´atenció a les sèries infinitesimals durant els s.XVI i XVII seran dos elements claus per al desenvolupament del càlcul infinitesimal.
El descobriment de les obres d´Arquimedes el s.XVI va permetre que els seus estudiosos reprenguessin els mètodes infinitesimals, que Arquímedes no havia pogut desenvolupar per les limitacions dels coneixements del moment, i que obtinguessin els rudiments del que avui anomenem càlcul. Després d´aquests pioners, trobarem les obres de Kepler, Cavalieri o Torricelli, que conduiran a la invenció del càlcul per part de Newton i Leibniz.
Kepler ja s´adonà en el seu estudi sobre l´univers que estava tractant amb processos infinitesimals. No obstant, quan determinava els volums indentificava l´area del cercle amb un nombre de triangles infinit amb el vèrtex en el centre del cercle, emprant així un sistema geomètric que aspirava a la màxima exactitud però que implicava un seguit d´operacions massa llarg, i en certa mesura, gairebé impossible d´aconseguir. Calia trobar un mètode que permetés obtenir resultats quantitatius de manera més simple i exacta.
Paral·lelament, Galileu, a qui hem situat en la mateixa etapa que Kepler, expressà el que seria el Zeitgeist de la ciència moderna declarant que era necessària l´harmonia d´experiment i teoria, posant l´accent en les matemàtiques. Tot i que Gal·lileu a Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (1638) va intentar fer un estudi matemàtic del moviment basat en les relacions existents entre distància, velocitat i acceleració, no va presentar una explicació sistemàtica del càlcul.
El primer que va fer una exposició dels resultats aconseguits fins al moment del càlcul fou Cavalieri a Geometria indivisibilibus continuorum (1635). En aquesta obra desesnvolupa un mètode d´integració, és a dir, de càlcul d´àrees, sense els obstacles de Kepler. No obstant, es basava en el concepte escolàstic i, per tant, de tradició aristotèlica de l´"indivisible", enlloc de tractar amb l´infinit. Cavalieri, però, va ser un estímul per als matemàtics de diferents països per estudiar el problema dels infinitesimals.
Descartes va dur a terme un profús estudi de la geometria clàssica i a la seva obra Géometrie trobem la llavor de l´anomenada geometria analítica. El mèrit de Descartes consistia en l´aplicació de l´àlgebra desenvolupada especialment en el s.XVI a l´anàlisi geomètrica dels antics, ampliant així les seves aplicacions. Amb ell també l´equació esdevingué una relació entre números i , per tant, un altre pas cap a l´abstracció matemàtica, que culminarà amb el càlcul.
El problema central que prenia cada cop més importància era el de la tangent, que consistia en trobar una manera per determinar una tangent, donada una corba en un punt concret. Aquí és quan es distingeixen, entre les matemàtiques de la comunitat científica europea, dues tendències o dos mètodes diferents d´abordar el problema: el geomètric i l´algebraic. Si Cavalieri, Torricelli, Barrow i Huygens es decantaven per la geometria sense preocupar-se massa pel rigor d´aquesta, d´altres com Fermat, Descartes, Wallis i finalment Newton i Leibniz es decantaven especialment pel camp de l´àlgebra. Aquest segon camí tenia ara possibilitats de desenvolupar-se. Segons Escohotado, "los desarrollos en teoria de funciones, combinados con las posibilidades de representación abiertas por la geometría analítica y el progresivo descubrimiento de los logaritmos, permiten hacer frente de otro modo al cálculo para las curvas clásicas, al mismo tiempo que descubren multitud de nuevas curvas puramente matemàticas". A finals del s. XVII, doncs, ja s´havien definit molts dels elements del càlcul. Wallis, a Arithmetica infinitorum (1655) fa una vertadera anàlisi algebraica i, tot i que els mètodes amb els infinitesimals són sovint rudimentaris, va obtenir nous resultats.
Isaac Barrow, professor de Newton, va influenciar, segons Escohotado, Newton amb la seva concepció dels nombres com a símbols de les magnituds geomètiques, a la vegada que concebia aquestes darreres com a ents que el moviment produia. Així establia una sèrie de passos o nivells d´abstracció cada cop més grans: des d´ents produits per quelcom físic (el moviment) a símbols que els representaven (els nombres). A més, Barrow va establir el teorema general del canvi de variables, pel qual es poden fer equacions diferencials, és a dir, el càlcul d´una pendent en un període de temps molt petit determinat per les variables x i y.
La invenció del càlcul infinitesimal se´l han disputat històricament Leibniz i Newton, tot i que actualment sembla ser que Newton el va descobrir abans, tot i que va ser Leibniz qui el va publicar primer.
A través de l´obra de Wallis, Newton fa un estudi de les sèries infinites que exposarà en De analysi per aequationes numero terminorum infinitas escrit en 1669, però no publicat fins el 1711. De fet, Newton té ja cap a 1665-6 prou habilitat com per expressar funcions en aquests termes. Paral·lelament, s´interessa per la velocitat del canvi o fluxió de magnituds com poden ser longituds, àrees, volums, distàncies, temperatures, etc. A partir d´aquí, Newton va associar el problema de les sèries infinites i el de les velocitats de canvi, en el seu nou mètode, basant-se en la correspondència de quelcom abstracte amb quelcom físic tal i com feia Barrow. En el "mètode de fuxions" , exposat per primera vegada als Principia, les "fluents" són per a Newton diferents funcions en un temps absolut, mentre que les "fluxions"són les derivades de les funcions. Segons S.Boyle, l´aportació de Newton és la combinació dels dos processos expressats dins el teorema general del càlcul, la diferenciació i la integració -que com hem vist ja eren coneguts- en un "algoritmo general aplicable a todas las funciones, tanto algebraicas como transcendentales". El càlcul infinitesimal és, doncs, la contribució bàsica de Newton a la història de la matemàtica, contribució que suporta la teoria de la mecànica dels cossos dels Principia.